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miércoles, 30 de mayo de 2012

Las matemáticas de las Pirámides de Egipto


Tras el trazado de la base cuadrada de una pirámide los escribas se enfrentaban a las cuestiones del volumen a través de un primer problema: Determinar la pendiente que deben tener las paredes laterales y mantener dicha pendiente a lo largo de toda la construcción.
Hasta llegar a la monumental pirámide de Keops los arquitectos egipcios hubieron de construir otras pirámides que denotan cambios de planes y diferentes criterios empleados. Las tres pirámides del antecesor de Keops, el rey Esnofru (2625 - 2585), son el mejor ejemplo de la diversidad de intentos producidos. La primera, levantada en Meidum y que probablemente comenzara su padre Huni, tiene una elevada pendiente de 51º 50' que provocó posteriormente su hundimiento parcial. El propio Esnofru comenzó a levantar otra en Dashur de 54º 27' de pendiente, aún más vertical que la de su padre, lo que condujo además, dadas sus mayores dimensiones en la base, a que el volumen de piedra combara la estructura interna de la pirámide. Es por ello que, en un intento de acabarla a toda costa, la pendiente disminuye abruptamente a una cierta altura transformándose en otra más suave de 43º 22' que permite su conclusión a una altura menor que la originalmente prevista.

Finalmente, la tercera pirámide de Esnofru se levanta en la propia llanura de Dashur y, siendo la definitiva, resulta con una pendiente igual a aquélla con la que se acabó la pirámide anterior (43º 22') lo que hace que no presente ningún problema de sobrepeso (de hecho se sigue conservando en buen estado) y la estructura interna (en particular, los techos en saledizo que siempre comportan una cierta inestabilidad) no se resienta. Sin embargo, resulta algo aplanada respecto al prototipo de pirámide, la de su hijo Keops, que vuelve a una pendiente de 51º 50' que aún será superada por la de sucesor Kefrén (53º 7'). El volumen de piedra que ello comporta obligará a realizar unas estructuras de sostenimiento de las cámaras funerarias de gran envergadura. En líneas generales las pendientes en las pirámides del Imperio Antiguo oscilarán entre estos valores extremos con la excepción de los 56º 18' alcanzados por la pirámide de Unas (2371 - 2350).

   
Uno de los problemas básicos de los constructores de pirámides consistía en mantener la pendiente en las cuatro caras simultáneamente dado que una variación provocada por piedras mal talladas comportaría que las cuatro caras no llegaran a converger en el vértice. Por tanto, la pendiente debía mantenerse no sólo en la base de las cuatro caras sino en todos los puntos de dichas caras laterales. El procedimiento podría basarse en conservar constante el ángulo suplementario hasta los 180º marcados por la horizontal. Para ello, un aparato de estructura triangular y con un ángulo que, si la pendiente deseada fuera de 51º, resultaría de 129º, se colocaría tanto en la base de la pirámide (y la horizontal quedaría garantizada por el suelo) como en cualquier otro punto de la pared lateral (y entonces la horizontal habría de garantizarse con un nivel de agua, por ejemplo).

La pendiente de la pirámide no estaba en aquel tiempo medida en grados ni minutos, herencia de la astronomía mesopotámica que nos han transmitido los griegos. Los antiguos egipcios utilizaban el ‘seked’ que puede definirse como el número de palmos horizontales que corresponden en la base de la pirámide a 1 codo vertical en su altura.

A partir de esta definición pueden plantearse al menos dos problemas:

· Conociendo la base y la altura, calcular el seked de la pirámide.

·  Conociendo la base y el seked, averiguar la altura que alcanzará la pirámide.
  
Así, el problema 56 del papiro Rhind plantea el primer caso en estos términos:

Ejemplo de calcular una pirámide cuyo lado de la base es 360 [codos] y cuya altura es 250 [codos]. Quiero conocer su seked

El procedimiento es sencillo y se va a repetir en varios problemas más del papiro:
·    Dividir el lado de la base por la mitad, 1/2 de 360 son 180 codos al objeto de formar un triángulo rectángulo.

·    Dividir 180 entre la altura 250, dando en este caso 1/2 1/5 1/50 , que resulta la longitud horizontal que corresponde a la unidad vertical en la unidad que fuere y todo ello dentro de un triángulo rectángulo semejante al anterior.

·    La cantidad 1/2 1/5 1/50 son también los palmos horizontales que corresponden a un palmo vertical. Como un codo vertical son los 7 palmos que caracterizan el componente vertical del seked, habrá que multiplicar por 7 la cantidad anterior para obtener dicho seked
     
                7 x 1/2 1/5 1/50 = 5 1/25

La segunda cuestión es presentada del siguiente modo en el problema 59b del mismo papiro:

Si construyes una pirámide cuyo lado de la base es 12 [codos] y con un seked de 5 palmos 1 dedo, ¿cuál es la altura?
   
El carácter de ejercicio escolar en este problema se observa en la irreal dimensión de la base (12 codos). No obstante, se puede asegurar que éste debía ser uno de los problemas más frecuentemente planteados en el comienzo de la construcción, ya que las dimensiones de la base eran una de las primeras acciones del arquitecto así como la determinación de la pendiente, por lo que la altura final relacionada con los datos anteriores era, en ese momento inicial, algo impreciso pero calculable como se puede apreciar por el procedimiento del escriba:

·   Multiplica por dos el seked con el objeto de considerar la base entera en ves de su mitad como incluye la definición del seked: 2 x 5 1/4 = 10 1/2  dado que un palmo equivale a cuatro dedos.

·   Dividir 7 entre 10 1/2 para reducir el resultado a la relación entre las mismas unidades, es decir, 7 : 10 1/2 = b
  

 Esta es la cantidad que se multiplica por el lado entero de la base: 

    b x 12 = 8 codos

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